viernes, 5 de junio de 2015

Concepto del algoritmo: La vida de Al-Khwarizmi



Introducción


Esta exposición trata sobre el origen de los algoritmos tal y como hoy los conocemos, para empezar hay que mencionar la definición actual de algoritmo. Conocemos los algoritmos como un conjunto de instrucciones simples, ordenadas y claras que mediante pasos sucesivos parten de un estado inicial y transitan por otros estados hasta llegar al estado final en el que se obtiene un resultado.

En resumen, un algoritmo es cualquier cosa que funcione paso a paso, donde cada paso se pueda describir sin ambigüedad y sin hacer referencia a una computadora en particular, y además tiene un límite fijo en cuanto a la cantidad de datos que se pueden leer/escribir en un solo paso.
 
La estructura de todo algoritmo contiene los siguientes parámetros:
  • Conjunto datos iniciales
  • Conjunto de resultados posibles
  • Conjunto de resultados intermedios
  • Regla de inicio
  • Regla del proceso directo
  • Regla de finalización
  • Regla de obtención del resultado

Vida de Al-Khwarizmi



Hacia 815 al-Mamun, séptimo califa Abásida, hijo de Harún al-Rashid, fundó en su capital, Bagdad, la Casa de la sabiduría (Bayt al-Hikma), una institución de investigación y traducción que algunos han comparado con la Biblioteca de Alejandría. En ella se tradujeron al árabe obras científicas y filosóficas griegas e indias donde además trabajo junto con otros científicos. Dos de sus obras, sus tratados de álgebra y astronomía, están dedicadas al propio califa.

Al-Khwarizmi fue bibliotecario en la corte del califa al-Mamun y astrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra, aritmética y tablas astronómicas adelantaron enormemente el pensamiento matemático. 

Aunque los algoritmos datan de tiempos babilónicos y los griegos diseñaron algoritmos aún famosos, fue Al-Khwarizmi el primero que diseñó algoritmos pensando en su eficiencia, en particular, para el cálculo de raíces de ecuaciones. Gracias a él, la matemática moderna usa el sistema numérico actual, proveniente de la India. Además las palabras guarismo (cifra, número) y algoritmo provienen de su nombre, que en árabe significa, "el de Khorezm" por su lugar de origen.

La mayoría de sus diez obras son conocidas en forma indirecta o por traducciones hechas más tarde al latín (muchas de ellas en Toledo) y de algunas sólo se conoce el título. Al-Khorezmi fue un recopilador de conocimiento de los griegos y de la India, principalmente matemáticas, pero también astronomía (incluyendo el calendario Judío), astrología, geografía e historia. Su trabajo más conocido y usado fueron sus Tablas Astronómicas, basadas en la astronomía india. Incluyen algoritmos para calcular fechas y las primeras tablas conocidas de las funciones trigonométricas seno y cotangente. Lo más increíble es que no usó los números negativos (que aún no se conocían), ni el sistema decimal ni fracciones, aunque sí el concepto del cero. Su Aritmética, traducida al latín como "Algoritmi de número Indorum" introduce el sistema numérico indio (sólo conocido por los árabes unos 50 años antes) y los algoritmos para calcular con él. 

Su obra al-jebr w'al-muqabalah fue traducida al latín, por primera vez, en la Escuela de Traductores de Toledo y tuvo mucha influencia en las matemáticas de la época. La traducción del título de la obra era complicada, por lo que los traductores optaron por latinizar el título, convirtiéndolo en aljeber que acabó derivando en la actual álgebra.

Sus libros son intuitivos y prácticos y su principal contribución fue simplificar las matemáticas a un nivel entendible por no expertos. En particular muestran las ventajas de usar el sistema decimal indio, un atrevimiento para su época, dado lo tradicional de la cultura árabe. La exposición clara de cómo calcular de una manera sistemática a través de algoritmos diseñados para ser usados con algún tipo de dispositivo mecánico similar a un ábaco, más que con lápiz y papel, muestra la intuición y el poder de abstracción de Al-Khorezmi. Hasta se preocupaba de reducir el número de operaciones necesarias en cada cálculo. Por esta razón, aunque no haya sido él el inventor del primer algoritmo, merece que este concepto esté asociado a su nombre. Al-Khorezmi fue sin duda el primer pensador algorítmico.

De su aritmética, posiblemente denominada originalmente "Kitab al-Jam'a wal-Tafreeq bil Hisab al-Hindi", sólo conservamos la versión latina, Algoritmi de Numero Indorum, del siglo XII. En esta obra describe con detalle el sistema hindú de numeración posicional en base 10 y la manera de para hacer cálculos con él. Se sabe que había un método para hallar raíces cuadradas en la versión árabe, pero no aparece en la versión latina. Fue esencial para la introducción de este sistema de numeración en el mundo árabe y posteriormente en Europa. El que nos haya llegado a través de los árabes hace que le llamemos habitualmente sistema de numeración árabe, cuando deberíamos llamarlo indo-arábigo. Posiblemente fuese el primero en utilizar el cero como una cifra.

Su tratado de álgebra es una introducción compacta al cálculo, usando reglas para completar y reducir ecuaciones. Además de sistematizar la resolución de ecuaciones cuadráticas, también trata geometría, cálculos comerciales y de herencias. Quizás éste es el libro árabe más antiguo conocido y parte de su título "Kitab al-jabr wa'l-muqabala" da origen a la palabra álgebra. Los términos al-jabr y al-muqabala se utilizan para denominar lo que nosotros entendemos por transposición de términos y posterior simplificación de términos semejantes con coeficientes negativos y positivos. Una posible traducción del título sería "El libro de restaurar e igualar" o "El arte de resolver ecuaciones". La palabra algebrista se utiliza también en "El Quijote" con un significado ya en desuso, pero que hace referencia a ese significado de restauración o recomposición. En el diccionario de la Real Academia Española de la Lengua podemos leer: "Algebrista, 2. (desusado) Cirujano dedicado especialmente a la curación de dislocaciones de huesos."

Obras 

El libro de álgebra. Traducciones y ediciones.


Del libro de álgebra de Al-Khwārizmī sí que se conservan manuscritos árabes, pero eso no significa que el establecimiento de un texto lo más cercano al original posible no esté exento de problemas. Hasta hace poco tiempo la edición del álgebra de Al-Khwārizmī de que se disponía era la que hizo Frederic Rosen en 1831, acompañada de su traducción al inglés  Rosen, 1831). Esa edición estaba hecha a partir de un único manuscrito que se conserva en la Bodleyan Library de Oxford (Hunt. 212, fol. 1v-54r), que es de 1342, es decir, más de cinco siglos posterior a la fecha de redacción por parte de Al-Khwārizmī.

Aunque el manuscrito está en muy buen estado y el copista hizo un trabajo cuidadoso, con el texto nítido en tinta negra y los títulos y las figuras en tinta roja, y con la escritura vocalizada a menudo, e incluso indicó el día exacto en que acabó la copia (19 Muharram del 743 de la Hégira, es decir, 24 de junio de 1342), no cupo nunca duda de que el tiempo transcurrido desde el original tenía que haber producido cambios, pérdidas o incorporaciones por su paso por múltiples manos de copistas. El libro fue editado de nuevo en Egipto en 1939 por Alī Mustafā Masharrafa y Muhammad Mursī Ahmad en árabe a partir del mismo manuscrito, en una edición ligeramente más cuidadosa que la realizada por Rosen (Masharrafa y Ahmad, que apenas modificaba la situación).

A falta de manuscritos árabes más antiguos, los historiadores recurrieron al estudio de las traducciones latinas medievales, una de las cuales resultó ser especialmente buena. En efecto, se conservan tres traducciones latinas diferentes del álgebra de Al-Khwārizmī.  


Texto de una edición árabe de su álgebra (El Cairo, 1968) donde se explica como resolver la ecuación x^2 + 10x = 39

Otras obras

 


Kitāb al-Mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala (Libro conciso de cálculo de restauración y oposición).
El libro de álgebra. Según el prólogo debió escribirlo entre 813 y 833, ya que se lo dedica al califa Al-Ma’mūn, y ésos son los años en que fue califa.

Kitāb al-hisāb al-cadad al-hindī (Libro del cálculo con los números hindúes).
Escrito también después de 813. El libro en que explica el sistema de numeración hindú y el cálculo aritmético con él. No se conserva ningún manuscrito árabe de este libro.

Kitāb al-jamc wa’t-tafrīq (Libro de la reunión y de la separación).
Perdido. La opinión de Djebbar (2005) y de Rashed (2007) es que debía contener un cálculo aritmético anterior a la introducción del cálculo hindú.

Kitāb sūrat al-ard (Libro de la configuración de la tierra).
Escrito alrededor de 817. Se conserva una copia árabe en la Biblioteca de la Universidad de Estrasburgo, y una traducción latina en la Biblioteca Nacional de Madrid. En esta geografía, Al-Khwārizmī sigue la teoría de los siete climas, y usa datos de Ptolomeo, pero otros que no están en el Almagesto. Es probable que haya participado en la expedición organizada por Al-Ma’mūn para comprobar los datos del libro de Ptolomeo. En ninguna de las copias hay mapas, y se especula sobre si Al-Khwārizmī incluiría un mapa del mundo. 

Istikhrāj ta’rīkh al-Yahūd (Determinación del calendario judío).
En este libro, escrito alrededor de 824 y descubierto alrededor de 1940, Al-Khwārizmī muestra conocer también el mundo hebreo, ya que describe las reglas de cálculo de las longitudes medias del Sol y de la Luna a  partir del calendario judío.

Zīj as-Sindhind (Tablas hindúes)
Escrito después de 813. El libro más importante de astronomía de Al-Khwārizmī. Además escribió otros menos conocidos, perdidos o redescubiertos recientemente. 

Kitāb cAmal al-asturlāb (Libro sobre la realización del astrolabio).
No se conserva ninguna copia. Mencionado por Al-Nadīm, en su Kitāb al-Fihrist. En este libro, publicado en 938, al-Nadīm pretendió recoger en un índice todos los libros escritos en árabe hasta ese momento.

Kitāb al-cAmal bi’l-asturlāb (Libro sobre la utilización del astrolabio).
Identificado por unos fragmentos reproducidos por el astrónomo del siglo IX Al-Farghānī. 

Kitāb al-Tārīkh.
Mencionado también por Al-Nadīm, se trata de un libro de historia, escrito después de 826.



Bibliografia


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